leon-dulich

Công thức Euler, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler, là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức.

Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:

{displaystyle e^{ix}=cos(x)+isin(x) }

Ở đây e là cơ số logarit tự nhiên, i là đơn vị của số phức,: ${displaystyle sin x }$ và: ${displaystyle cos x }$ là các hàm số lượng giác.

Khai triển từ công thức trên, các hàm số: ${displaystyle cos x }$ và: ${displaystyle sin x }$ có thể được viết dưới dạng sau:

{displaystyle cos(x)=(1/2)(e^{ix}+e^{-ix}) }

{displaystyle sin(x)=(1/2i)(e^{ix}-e^{-ix}) }

Trường hợp đặc biệt: khi: ${displaystyle x=pi }$ , ta có: ${displaystyle e^{ipi }=cos(pi )+isin(pi )=-1 }$ , từ đó dẫn đến công thức rút gọn nổi tiếng:

{displaystyle e^{ipi }+1=0 }

Bằng cách sử dụng chuỗi Taylor[sửa | sửa mã nguồn]

Sau đây là một cách chứng minh công thức Euler bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor cũng như các tính chất cơ bản về lũy thừa của số i:

{displaystyle i^{0}=1,}

{displaystyle i^{1}=i,}

{displaystyle i^{2}=-1,}

{displaystyle i^{3}=-i,}

{displaystyle i^{4}=1,}

{displaystyle i^{5}=i,}

{displaystyle vdots }

Các hàm e^x, cos(x) và sin(x) (với giả sử x là số thực) có thể được viết như sau:

{displaystyle e^{x}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+cdots }

{displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6}}{6!}}+cdots }

{displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots }

Do bán kính hội tụ của mỗi chuỗi nêu trên là vô hạn, chúng ta có thể thay thế x bởi iz, với z là số phức. Khi đó:

{displaystyle e^{iz}=1+iz+{frac {(iz)^{2}}{2!}}+{frac {(iz)^{3}}{3!}}+{frac {(iz)^{4}}{4!}}+{frac {(iz)^{5}}{5!}}+{frac {(iz)^{6}}{6!}}+{frac {(iz)^{7}}{7!}}+{frac {(iz)^{8}}{8!}}+cdots }

{displaystyle =1+iz-{frac {z^{2}}{2!}}-{frac {iz^{3}}{3!}}+{frac {z^{4}}{4!}}+{frac {iz^{5}}{5!}}-{frac {z^{6}}{6!}}-{frac {iz^{7}}{7!}}+{frac {z^{8}}{8!}}+cdots }

{displaystyle =left(1-{frac {z^{2}}{2!}}+{frac {z^{4}}{4!}}-{frac {z^{6}}{6!}}+{frac {z^{8}}{8!}}-cdots right)+ileft(z-{frac {z^{3}}{3!}}+{frac {z^{5}}{5!}}-{frac {z^{7}}{7!}}+cdots right)}

{displaystyle =cos(z)+isin(z),}

Việc sắp xếp lại các số hạng là thích hợp do mỗi chuỗi đều là chuỗi hội tụ tuyệt đối. Lấy z = x là một số thực sẽ dẫn đến đẳng thức nguyên thủy mà Euler đã khám phá ra.

Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Xét hàm số ${displaystyle f}$ xác định bởi:
${displaystyle f(x)={frac {e^{ix}}{cos x+isin x}}}$

Ta sẽ chứng minh rằng ${displaystyle cos {x}+isin {x},}$ khác 0 với mọi x

Thật vậy; giả sử ${displaystyle cos {x}+isin {x}=0,}$ thì ${displaystyle cos {x}=-isin {x},}$ ; do đó ${displaystyle cos ^{2}{x}=-sin ^{2}{x},}$ ; vậy ${displaystyle cos ^{2}{x}+sin ^{2}{x}=0,}$ (vô lý)