leon-dulich

Trong toán học, định lý khai triển nhị thức (ngắn gọn là định lý nhị thức) là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc ${displaystyle n}$ thành một đa thức có ${displaystyle n+1}$ số hạng:

{displaystyle (x+a)^{n}=sum _{k=0}^{n}{n choose k}x^{(n-k)}a^{k}}

với:

{displaystyle {n choose k}={frac {n!}{(n-k)!k!}}}

Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử.

Định lý này đã được độc lập chứng minh bởi hai người đó là:

Công thức đã giới thiệu còn mang tên là Nhị thức Newton.

Định lý này được chứng minh bằng quy nạp.

Ta có biểu thức ${displaystyle P(n):(1+x)^{n}=sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}}$ (1) với mọi số tự nhiên n.

Đầu tiên tại P(1) đúng.

giả sử P(n) đúng, ta phải chứng minh ${displaystyle P(n+1):(1+x)^{n+1}=(1+x).sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}=(1+x)}$ và ${displaystyle sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k+1}=sum _{k=1}^{n}C_{n}^{k-1}x^{k}+x^{n+1}}$

áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta có:

${displaystyle (1+x)^{n+1}=1+sum _{k=1}^{n}(C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}).x^{k}+x^{n+1}=C_{n+1}^{0}.x^{0}+sum _{k=1}^{n}C_{n+1}^{k}.x^{k}+C_{n+1}^{n+1}.x^{n+1}=sum _{k=0}^{n+1}C_{n+1}^{k}x^{k}}$

Do đó công thức (1) đúng.

giờ đặt ${displaystyle x={frac {b}{a}}=>(1+{frac {b}{a}})^{n}=sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{frac {b^{k}}{a^{k}}}}$ và do đó ${displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}(1+{frac {b}{a}})^{n}=a^{n}sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{frac {b^{k}}{a^{k}}}=sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}}$

Ta có điều phải chứng minh.

Các trường hợp đặc biệt của định lý này nằm trong các Hằng đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương của ${displaystyle x+y}$ :

{displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.!}

Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của ${displaystyle x+y}$ tương ứng với các hàng sau của tam giác:

{displaystyle {begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.end{aligned}}}

Chú ý rằng:

Lũy thừa của ${displaystyle x}$ giảm dần cho tới khi đạt đến 0 ( ${displaystyle x^{0}=1}$ ), giá trị bắt đầu là ${displaystyle n}$ (n trong ${displaystyle (x+y)^{n}}$ .)

Lũy thừa của ${displaystyle y}$ tăng lên bắt đầu từ 0 ( ${displaystyle y^{0}=1}$ ) cho tới khi đạt đến ${displaystyle n}$ ( ${displaystyle n}$ trong ${displaystyle (x+y)^{n}}$ .)