Trong toán học và đại số trừu tượng, lý thuyết nhóm nghiên cứu về cấu trúc đại số như nhóm. Nhóm là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng: những cấu trúc đại số chính khác như vành, trường và không giác vector đều có thể được xét như các nhóm với các tính chất và tiên đề bổ sung. Nhóm được ứng dụng hầu khắp các nhánh của toán học, và ứng dụng của lý thuyết nhóm có ảnh hưởng đến nhiều khía cạnh của đại số. Các nhóm đại số tuyến tính và các nhóm Lie, là hai nhánh của lý thuyết nhóm, đã được nghiên cứu chuyên sâu và trở thành những chủ đề chính của lý thuyết này.
Nhiều hệ thống vật lý, như tinh thể và nguyên tử hydro, có thể được mô hình hóa dưới dạng các nhóm đối xứng.Vì vậy, lý thuyết nhóm và lý thuyết đại diện - lý thuyết có liên hệ mật thiết với lý thuyết nhóm - có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, hóa học và khoa học vật liệu. Lý thuyết nhóm cũng là trọng tâm cho lý thuyết mã hóa công khai.
Một trong những thành tựu quan trọng nhất của Toán học thế kỷ 20 đó là nỗ lực hợp tác đem lại hơn 10.000 trang báo cáo đước phát hành từ năm 1960 đến 1980 với kết quả phân loại hoành chỉnh cho các nhóm đơn hữu hạn.
Lý thuyết nhóm là một nhánh cơ bản của đại số nghiên cứu các tính chất của nhóm - một hệ thống đại số cơ bản.
Trong khoảng một thế kỉ, rất nhiều nhà toán học đã gặp khó khăn khi nghiên cứu các bài toán trong đại số trước khi lý thuyết nhóm ra đời. Bắt đầu là Joseph Louis Lagrange sử dụng nhóm hoán vị để tìm nghiệm đa thức (1771). Sau đó trong các bài báo, nghiên cứu về phương trình đại số của Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel (1824) và Evariste Galois (1830), những thuật ngữ trong lý thuyết nhóm đã xuất hiện. Ngoài ra, lý thuyết nhóm cũng được hình thành từ hình học vào khoảng giữa thế kỉ 19 và từ lý thuyết số.[1][2]
Vào khoảng cuối thế kỉ 19 lý thuyết nhóm được hình thành như một nhánh độc lập của đại số (những người có công trong linh vực này phải kể đến là Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker, Emile Mathieu...). Nhiều khái niệm của đại số đã được xây dựng lại từ khái niệm nhóm và đã có nhiều kết quả mới đóng góp cho sự phát triển của một ngành quan trọng trong toán học.
Hiện nay lý thuyết nhóm là một phần phát triển nhất trong đại số và có nhiều ứng dụng trong topo học, lý thuyết hàm, mật mã học, cơ học lượng tử và nhiều ngành khoa học cơ bản khác.[3]
Bài toán cơ bản của lý thuyết nhóm là miêu tả tất cả hệ thống nhóm với sự chính xác dến một đẳng cấu, và nghiên cứu các phép biến đổi trên các nhóm. Trên thực tế, việc viết hết các hệ thống nhóm là không thể, chính vì thế mà lý thuyết nhóm vẫn còn được tiếp tục nghiên cứu.
Những khái niệm cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]
No comments:
Post a Comment