Những kiến thức cơ bản của lí thuyết nhóm – Wikipedia tiếng Việt

Trong toán học, một nhóm (G,*) được định nghĩa như sau:

G là một tập hợp và * là một phép toán hai ngôi trên G, thỏa mãn các luật (hay tiên đề) sau:

A1. (Tính đóng) Nếu a và b thuộc G, thì a*b cũng thuộc G.

A2. (Tính kết hợp) Nếu a, b, c thuộc G, thì (a*b)*c=a*(b*c).

A3. (Phần tử đơn vị) G chứa một phần tử, thường ký hiệu e, sao cho với mọi a thuộc G, a*e=a.

Phần tử này được gọi là phần tử đơn vị (đôi khi cũng gọi là phần tử trung hoà hay phần tử không) của (G, *) (sau này ta sẽ chỉ ra e là duy nhất).

A4. (Phần tử nghịch đảo) Nếu a thuộc G, thì tồn tại một phần tử b thuộc G sao cho a*b=e.

Chúng ta gọi b là nghịch đảo của a (sau này ta sẽ chỉ ra b là duy nhất).

Lưu ý:

• Phép * không nhất thiết phải là phép nhân, mà có thể là phép cộng cũng như nhiều phép toán khác.


• Khi * là một phép toán thường dùng, chúng ta có thể sử dụng những ký hiệu thông thường (chẳng hạn, + cho phép cộng)


• Khi * là phép cộng hay bất kỳ phép toán giao hoán nào (trừ phép nhân), phần tử đơn vị thường được ký hiệu là 0, và phần tử nghịch đảo của a ký hiệu là -a. Phép toán thường được ký hiệu bởi một ký tự khác dấu *, thường là +, để tránh nhầm lẫn với phép nhân.


• Khi * là phép nhân hay bất kỳ phép toán không giao hoán nào, phần tử đơn vị thường được ký hiệu là 1, và phần tử nghịch đảo của a là a ^-1. Ký hiệu phép toán thường được bỏ qua, a*b thường được viết là ab.


• (G,*) thường được đọc là nhóm G dưới phép toán *. Khi khẳng định đây là một nhóm (chẳng hạn, trong một định lý), chúng ta nói G là một nhóm dưới phép toán *.


• Nhóm (G, *) thường được gọi tắt là nhóm G hoặc đơn giản là G.

1. (R, +) là một nhóm Tập số thực (R) là một nhóm dưới phép cộng (+) - Tính đóng: tổng của hai số bất kỳ là một số khác. - Tính kết hợp: Với mọi a, b, c thuộc R, (a + b) + c = a + (b + c). - Phần tử đơn vị: 0. Với mọi a thuộc R, a + 0 = a. - Phần tử nghịch đảo: Với mọi a thuộc R, -a + a = 0.


2. (R, *) không phải là một nhóm Tập số thực (R) không phải là một nhóm dưới phép nhân (*). - Phần tử đơn vị: 1. - Phần tử nghịch đảo: 0 * a = 0 với mọi a thuộc R, do đó 0 không có nghịch đảo.


3. (R^#,*) là một nhóm Tập số thực thiếu 0 (R^#) là một nhóm dưới phép nhân (*). - Tính đóng: tích của hai số là một số khác. - Tính kết hợp: Với mọi a, b, c thuộc R, (a * b) * c = a * (b * c). - Phần tử đơn vị: 1. Với mọi a thuộc R, a * 1 = a. - Phần tử nghịch đảo: Với mọi a thuộc R, a * a ^-1 = 1.

Tính hai chiều của phần tử nghịch đảo[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý 1.1: Với mọi a thuộc G, a ^-1 * a = e.

• Khai triển a ^-1 * a, ta có:
  
  • a ^-1 * a = a ^-1 * a * e (theo A3)
  
  
  • a ^-1 * a * e = a ^-1 * a * (a ^-1*(a ^-1) ^-1) (theo A4, a ^-1 có một nghịch đảo ký hiệu là(a ^-1) ^-1)

• • a ^-1 * a * (a ^-1 * (a ^-1) ^-1) = a ^-1 * (a * a ^-1) * (a ^-1) ^-1 = a ^-1 * e * (a ^-1) ^-1 (theo tính kết hợp và A4)

• • a ^-1 * e * (a ^-1) ^-1 = a ^-1 * (a ^-1) ^-1 = e (theo A3' và A4')


• Do đó, a ^-1 * a = e

Tính hai chiều của phần tử đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý 1.2: với mọi a thuộc G, e * a = a.

• Khai triển e * a,
  
  • e*a = (a * a ^-1) * a (theo A4)
  
  
  • (a * a ^-1) * a = a * (a ^-1 * a) = a * e (theo tính kết hợp và định lý trước)
  
  
  • a * e = a (theo A3)


• Do đó e * a = a

Định lý 1.3: với mọi a,b thuộc G, tồn tại duy nhất x thuộc G sao cho a*x = b.

• Chắc chắn, tồn tại ít nhất một phần tử x như vậy, chẳng hạn đặt x = a ^-1*b, thì x thuộc G (theo A1, tính đóng); và do đó:
  
  • a*x = a*(a ^-1*b) (thế x)
  
  
  • a*(a ^-1*b) = (a*a ^-1)*b (tính kết hợp A2).
  
  
  • (a*a ^-1)*b= e*b = b. (phần tử đơn vị A3).
  
  
  • Như vậy x này luôn tồn tại và thỏa mãn a*x = b.


• Để chỉ ra tính duy nhất, nếu a*x=b, thì:
  
  • x = e*x
  
  
  • e*x = (a ^-1*a)*x
  
  
  • (a ^-1*a)*x = a ^-1*(a*x)
  
  
  • a ^-1*(a*x) = a ^-1*b
  
  
  • Do đó, x = a ^-1*b

Tương tự, với mọi a,b thuộc G, tồn tại duy nhất y thuộc G sao cho y*a = b.

Tính duy nhất của phần tử đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý 1.4: Phần tử đơn vị của một nhóm (G,*) là duy nhất

• a*e = a (theo A3)


• Áp dụng định lý 1.3, với b = a.

Chứng minh khác: Giả sử G có hai phần tử đơn vị, e và f. Thế thì e*f = e, theo A3', nhưng ta cũng có e*f = f, theo định lý 1.2. Vậy e = f.
Như vậy, ta có thể nói phần tử đơn vị của (G, *) thay vì một phần tử đơn vị. Khi đề cập những nhóm khác nhau, ta thường ký hiệu e_G cho phần tử đơn vị của nhóm (G,*).

Tính duy nhất của phần tử nghịch đảo[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý 1.5: Phần tử nghịch đảo của mỗi phần tử thuộc (G,*) là duy nhất; hay một cách tương đương, với mọi a thuộc G, a*x = e nếu và chỉ nếu x=a ^-1.

• Nếu x=a ^-1, thì a*x = e theo A4.


• Áp dụng định lý 1.3, with b = e.

Chứng minh khác: Giả sử một phần tử g của G có hai phần tử nghịch đảo, h và k. Thì h = h*e = h*(g*k) = (h*g)*k = e*k = k (các đẳng thức thu được theo A3'; A4'; A2; định lý 1.1; và định lý 1.2, theo thứ tự).
Như vậy, ta có thể nói phần tử nghịch đảo của một phần tử x, thay vì một phần tử nghịch đảo.

Lấy nghịch đảo hai lần cho ta giá trị ban đầu[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý 1.6: với mọi a thuộc nhóm (G,*), (a ^-1) ^-1=a.

• a ^-1*a = e.


• Do đó thu được kết luận dựa vào định lý 1.4.

Định lý 1.7: với mọi a,b thuộc nhóm (G,*), (a*b) ^-1=b ^-1*a ^-1.

a*(b*b ^-1)*a ^-1 = a*e*a ^-1 =
a*a ^-1 = e

• Do đó thu được kết luận dựa vào định lý 1.4.

Định lý 1.8: với mọi a,x,y, thuộc nhóm (G,*), nếu a*x=a*y, thì x=y; và
nếux*a=y*a, thì x=y.

• Nếu a*x = a*y thì:
  
  • a ^-1*(a*x) = a ^-1*(a*y)
  
  
  • (a ^-1*a)*x = (a ^-1*a)*y
  
  
  • e*x = e*y
  
  
  • x = y


• Nếu x*a = y*a thì
  
  • (x*a)*a ^-1 = (y*a)*a ^-1
  
  
  • x*(a*a ^-1) = y*(a*a ^-1)
  
  
  • x*e = y*e
  
  
  • x = y

Định lý 1.9: Với mọi a trong một nhóm, a^maⁿ = a^m+n =
aⁿa^m và (a^m)ⁿ =
(aⁿ)^m = a^nm.

Cho một nhóm (G, *), nếu số phần tử của G là hữu hạn thì nhóm được mọi là một nhóm hữu hạn. Bậc của một nhóm (G, *) là số phần tử của G (cho một nhóm hữu hạn), hoặc lực lượng của nhóm nếu G không hữu hạn. Bậc của G thường được ký hiệu là |G| hoặc (ít dùng) o(G).

Nhóm con[sửa | sửa mã nguồn]

Một tập con H của G được gọi là một nhóm con của một nhóm (G,*) nếu H thỏa mãn các tiên đề về nhóm, cùng dùng phép toán "*", và giới hạn trong tập con H. Như vậy nếu H là một nhóm con của(G,*), thì (H,*) cũng là một nhóm, và cũng thỏa mãn các định lý trên, giới hạn trong H. Bậc của nhóm con H là số phần tử của H.

Một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G là một nhóm con khác G. Một nhóm con không tầm thường của G là bất kỳ nhóm con chuẩn tắc nào của G chứa một phần tử khác e.

Định lý 2.1: Nếu H là một nhóm con của (G,*), thì phần tử đơn vị e_H của H giống với phần tử đơn vị e của (G,*).

• Nếu h thuộc H, thì h*e_H = h; vì h cũng phải thuộc G, h*e = h; do đó theo định lý 1.4, e_H = e.

Định lý 2.2: Nếu H là một nhóm con của G, và h là một phần tử của H, thì nghịch đảo của h trong H giống với nghịch đảo của h trong G.

• Gọi h và k là các phần tử của H, sao cho h*k = e; bởi vìh cũng phải thuộcG, h*h ^-1 = e; do đó theo Định lý 1.5, k=h ^-1.

Cho một tập con S của G, chúng ta thường muốn xác định S có phải là một nhóm con của G hay không.

Đây là một định lý tiện lợi dùng cho cả trường hợp nhóm hữu hạn và không hữu hạn:
Định lý 2.3: Nếu S là một tập con không rỗng của G, thì S là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu với mọi a,b thuộc S, a*b ^-1 thuộc S.

• Nếu với mọi a, b thuộc S, a*b ^-1 cũng thuộc S, thì
  
  • e thuộc S, vì a*a ^-1 = e thuộc S.
  
  
  • Với mọi a thuộc S, e*a ^-1 = a ^-1 thuộc S
  
  
  • Với mọi a, b thuộc S, a*b = a*(b ^-1) ^-1 thuộc S
  
  
  • Do đó, các tiên đề về tính đóng, phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo, và tính kết hợp được kế thừa; do đó S là một nhóm con.


• Ngược lại, nếu S là một nhóm con của G, thì nó tuân theo các tiên đề về nhóm.
  
  • Như đã nói, phần tử đơn vị của S chính là phần tử đơn vị e của G.
  
  
  • Theo A4, với mọi b thuộc S, b ^-1 thuộc S
  
  
  • Theo A1, a*b ^-1 thuộc S.

Giao của hai hay nhiều nhóm con cũng là một nhóm con.

Định lý 2.4: Giao của các nhóm con của nhóm G là một nhóm con.

• Gọi {H_i} là một tập các nhóm con của G, và K = ∩{H_i}.


• e là phần tử của mọi H_i theo định lý 2.1; do đó K không rỗng.


• Nếu h và k là các phần tử của K, thì với mọi i,
  
  • h và k thuộc H_i.
  
  
  • theo định lý trước, h*k ^-1 thuộc H_i
  
  
  • Do đó, h*k ^-1 thuộc ∩{H_i}.


• Do đó với mọi h, k thuộc K, h*k ^-1 thuộc K.


• Thế thì theo định lý trước, K=∩{H_i} là một nhóm con của G; và hơn nữa K là một nhóm con của mỗi H_i.

Trong một nhóm (G, *), định nghĩa x⁰ = e. Chúng ta ký hiệu x*x là x²; và tổng quát, x*x*x*...*x (n lần) là xⁿ. Tương tự, chúng ta ký hiệu x ^-n cho(x ^-1)ⁿ.

Định lý 2.5: Gọi a là một phần tử của một nhóm (G,*). Thế thì tập hợp {aⁿ: n nguyên} là một nhóm con của G

Một nhóm con loại nay được gọi là một nhóm con "vòng"; nhóm con gồm lũy thừa của a thường được viết là <a>, chúng ta nói a sinh <a>

Nếu có một số nguyên dương n sao cho aⁿ=e, thì chúng ta nói phần tử a có bậc n trong G. Đôi khi chúng ta ký hiệu "o(a)=n".

Liên tập[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu S và T là các tập con của G, và a là một phần tử của G, chúng ta ký hiệu "a*S" là các tập con của G tạo bởi tất cả các phần tử có dạng a*s, ở đó s là một phần tử của S; tương tự, chúng ta ký hiệu "S*a" để chỉ tập các phần tử có dạng s*a. Chúng ta ký hiệu S*T để chỉ tập con của G tạo thành bởi các phần tử có dạng s*t, ở đó s là một phần tử của S và t là một phần tử của T.

Nếu H là một nhóm con của G, thì một đối tập (coset) trái của H là một tập có dạng a*H, với một a nào đó của G.

Một liên tập phải là một tập con có dạng H * a.

Một vài định lý hữu ích về các liên tập, được nêu ra không có chứng minh:

• Định lý: Nếu H là một nhóm con của G, và x và y là các phần tử G, thì x * H = y * H, hoặc x * H và y * H không giao nhau.


• Định lý: Nếu H là một nhóm con của G, thì mọi liên tập trái (phải) của H trong G chứa cùng số phần tử.


• Định lý: Nếu H là một nhóm con của G, thì G là hợp rời nhau của các liên tập trái (phải) của H.


• Định lý: Nếu H là một nhóm con của G, thì số liên tập trái phân biệt của H bằng với số liên tập phải phân biệt của H.

Định nghĩa chỉ số của một nhóm con H của một nhóm G (ký hiệu [G:H]) là số liên tập trái phân biệt của H trong G.

Từ các định lý trên, ta thu được kết quả quan trọng là định lý Lagrange về quan hệ giữa bậc của một nhóm con và bậc của một nhóm:

Định lý Lagrange: Nếu H là một nhóm con của G, thì |G| = |H| * [G:H].

Với các nhóm hữu hạn, chúng ta có thể phát biểu:

Định lý Lagrange: Nếu H là một nhóm con của một nhóm hữu hạn G, thì bậc của H chia hết bậc của G.